fungsi elementer

July 1, 2009 at 10:42 pm Leave a comment

ABSTRAK

Telah dilakukan pembuktian sifat-sifat fungsi elementer. Pembuktian ini bertujuan Untuk memahami macam-macam fungsi elementer pada sistem bilangan kompleks serta mampu membuktikan macam-macam persamaan fungsi elementer. Pembuktian ini melibatkan definisi-definisi dan teorema- teorema yang berkaitan dengan fungsi elementer. Hasil dari pembuatan makalah ini adalah penjelasan tentang sifat-sifat fungsi elementer

Kata kunci: fungsi elementer

PENDAHULUAN

  1. Latar Belakang

Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.

Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangan penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Oleh karena itu, dalam makalah ini kami akan membahas fungsi elementer pada sistem bilangan kompleks.

  1. Permasalahan

  1. Apa saja macam-macam fungsi elementer dalam sistem bilangan kompleks?

  2. Bagaimana bukti dari sifat pada macam-macam fungsi elementer dalam sistem bilangan kompleks?

  3. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan pada fungsi elementer dalam sistem bilangan kompleks?

  1. Tujuan

  1. Untuk memahami macam-macam fungsi elementer pada sistem bilangan kompleks.

  2. Untuk membuktikan sifat-sifat dari macam-macam fungsi elementer pada sistem bilangan kompleks.

  3. Menyelesaikan persamaan dari macam-macam fungsi elementer pada sistem bilangan kompleks.

PEMBAHASAN

Fungsi Elementer

Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial pada bilangan kompleks merupakan perluasan dari fungsi eksponensial pada bilangan riil. Perhatikan penderetan Mac laurin dari , cos x, dan sin x untuk semua bilangan riil x.

Untuk bilangan kompleks z=iy diperoleh

=

=

=

=

Sifat – sifat fungsi eksponensial

Misal dan , maka

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Rumus euler

, sehingga jika z = x + iy maka . Dalam bentuk polar jika , jika , maka dapat ditulis menjadi

Sehingga dari rumus euler akan diperoleh

Bentuk khusus

Jika z bilangan riil, z = x + i0, maka

Jika z = iy = 0 + iy, maka

Jika z = x + iy, maka

Fungsi Logaritma

Pendefinisian fungsi logaritma pada variable kompleks didasari oleh bagaimana menyelesaikan persamaan , dengan w dan z bilangan kompleks. Jika dan w = u + iv maka persamaan diatas menjadi

Sehingga atau u = ln r dan v = ,n.

Tetapi dan

Akibatnya w = u + iv = ln z atau ln z = ln r + i.arg z =

Sifat – sifat fungsi logaritma

  1. Log(zw) = log z + log w

  2. Log(z/w) = log z – log w

  3. Log

  4. , dimana p bilangan rasional

Fungsi Hiperbolik

Fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks cos dan sin adalah

Untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks yang lain pendefinisiannya sama pada fungsi hiperbolik pada bilangan riil, yaitu:

Sifat – sifat fungsi hiperbolik

Untuk bilangan kompleks z dan w, dimana z = x + iy dan k bilangan bulat, maka

  1. coshz = cosh x cos y + i sinh x sin y

  2. sinhz = sin x cos y – i cosh x sin y

  3. sinh (z+w)= sinh z cosh w + cosh z sinh w

  4. cosh (z+w)= cosh z cosh w + sinh z sinh w

  5. cosh z = 0

  6. sinh z = 0

  7. sinh(-z) = – sinhz

  8. cosh(-z) = coshz

  9. sinh(z+

  10. cosh

  11. tanh(

  12. –i sinh(iz) = sin z

  13. cosh(iz)=cosh z

  14. –i sin(iz) = sinh z

Turunan fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks hamper sama dengan turunan fungsi trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya. Sebagai contoh untuk z bilangan kompleks,

Secara analog akan didapatkan

Hubungan antara fungsi hiperbolik dengan fungsi trigonometri

  1. cosh iz = cos z

  2. sinh iz = i sin z

  3. cos iz = cosh z

  4. sin iz = i sinh z

Bukti :

  1. karena maka dengan mengganti z dengan iz diperoleh

cosh iz = .

  1. karena sin z = maka dengan mengganti z dengan iz diperoleh

=

Suku Banyak

Bentuk umum dari fungsi suku banyak adalah

Dengan konstanta kompleks dan n bilangan bulat tak negatif.

Entry filed under: Uncategorized. Tags: .

program menghafal al-qura’n KECANTIKAN DIPLOMASI AHMADINEJAD

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Trackback this post  |  Subscribe to the comments via RSS Feed


Categories

Recent Posts


%d bloggers like this: